Impulso e quantidade de movimento

Definição de Impulso de uma força. Métodos para calcular o impulso de uma força constante e variável com exemplos e exercícios resolvidos.

Impulso de Força Constante

Dizemos que uma força produz um impulso sobre um corpo quando ela age no corpo durante um certo intervalo de tempo.

Define-se impulso I de uma força constante através do produto de tal força F pelo intervalo de tempo de sua ação.

Pela expressão acima, observamos que o impulso é uma grandeza vetorial e, portanto, necessita de módulo, direção e sentido para seu perfeito entendimento. Ou seja:

No Sistema Internacional (SI), a unidade da grandeza impulso é N · s (newton vezes segundo). Como
N = kg · m/s², temos:

2. Impulso de Força Variável

Se uma força tiver direção constante e intensidade variando no decorrer do tempo, seu impulso será calculado por meio da área sob o gráfico força × tempo.

Nesse caso, podemos definir uma força média como sendo a força constante capaz de produzir o mesmo impulso da força de intensidade variável. Isto é:

3. Quantidade de Movimento

Definimos a grandeza vetorial quantidade do movimento de um corpo, também denominada momento linear, pelo produto da massa (m) do corpo pela sua velocidade .

Como a quantidade de movimento é uma grandeza vetorial, apresenta módulo, direção e sentido, temos:

No SI, a quantidade de movimento tem como unidade 
kg · m/s (quilograma vezes metro por segundo).

Repare que a unidade de quantidade de movimento coincide com a de impulso, embora sejam grandezas diferentes.

Demonstração do Teorema do Impulso

Considere uma partícula de massa (m) constante, em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

De acordo com a 2a lei de Newton, a força resultante relaciona-se com a mudança de velocidade da partícula, num certo intervalo de tempo, assim:

Ou seja:

Embora tenhamos demonstrado o Teorema do Impulso a partir de uma situação simples de MRUV, sua aplicação é geral, estendendo-se a qualquer tipo de movimento, sob a ação de forças constantes ou variáveis.

Exercícios

01. Um bloco movimenta-se, a partir do repouso, sob a ação de uma força de direção constante e cujo módulo varia com o tempo, conforme o gráfico abaixo.

No intervalo de 0 a 15 s, determine:

a) o módulo do impulso de ;

b) o valor da força constante (força média) capaz de produzir o mesmo impulso.

02. Um corpo de massa 1 kg executa movimento circular uniforme com velocidade de 4 m/s. Para um intervalo de tempo igual a meio período (meia volta dada), pede-se:

a) a variação de sua energia cinética;

b) o módulo da variação da quantidade de movimento do corpo.

04. Suponha que uma bola com 0,20 kg de massa, movimentando-se com velocidade de 5,0 m/s, colida contra uma parede, retornando na mesma direção original e com a mesma velocidade, em módulo.

05. Um bola de futebol com 500 g de massa movimenta-se horizontalmente com velocidade de 6,0 m/s. Num determinado instante, recebe um chute (impulso) de um jogador e passa a movimentar-se com velocidade de 8,0 m/s numa direção perpendicular à anterior. Determinar o módulo do impulso aplicado pelo jogador na bola.

06. O diagrama horário abaixo mostra a variação do módulo da força resultante , aplicada a um corpo de massa 2,0 kg com velocidade inicial de 1,0 m/s. A força atua sempre na mesma direção e sentido da velocidade do corpo.

Determine:

a) o módulo do impulso da força no intervalo de tempo de 0 a 5,0 s;

b) o módulo da velocidade do corpo no instante t = 5,0 s;

c) o trabalho realizado pela força entre os instantes 0 e 5,0 s.

1. Quantidade de Movimento de um Sistema

A quantidade de movimento (ou momento linear) de um conjunto de partículas corresponde à soma vetorial das quantidades de movimento de cada partícula de tal sistema.

Considere, por exemplo, o conjunto formado por três partículas (A, B e C), abaixo indicadas, em que se destaca o vetor quantidade de movimento ( = m · ) que cada uma apresenta em um certo instante.

Obtemos o vetor quantidade de movimento do sistema 
( sist), nesse instante, pela seguinte adição vetorial:

Se as velocidades das partículas tivessem a mesma direção, poderíamos obter o valor da quantidade de movimento do sistema através das velocidades escalares das partículas assim:

2. Sistema Isolado

Em um sistema podem agir forças internas e externas. São chamadas de forças internas aquelas que são trocadas entre as partículas do sistema. Por constituírem pares ação-reação, o impulso total devido às forças internas sempre será nulo.

Uma força é classificada como externa quando é exercida no sistema pelo meio externo a ele. Essa força pode ser de ação a distância (força de campo) ou de contato.

Dizemos que um sistema de partículas é mecanicamente isolado quando for nulo o impulso total das forças externas sobre as partículas do sistema. Ou seja, o sistema será considerado isolado quando:

a) nenhuma força externa atuar, ou a resultante das forças externas for nula;

b) as forças externas forem desprezíveis, se comparadas com as forças internas;

c) a interação com o meio externo tiver uma duração muito pequena ( 0).

Todos os fatores acima nos permitem, portanto, eleger como sistemas isolados usuais os conjuntos de partículas associados aos fenômenos de colisão e explosão.

Por exemplo, observe abaixo a separação de massas (explosão) que uma mola inicialmente comprimida consegue produzir, quando interposta entre dois carrinhos (A e B) dispostos num plano horizontal liso.

Note que no conjunto (A + B + mola) as forças elásticas internas ( e – ) são as que produzem a separação de A e B, enquanto as forças externas (pesos e normais) têm resultante nula. Logo, temos um sistema isolado.

3. Conservação da Quantidade de Movimento

Em qualquer sistema isolado de ações externas, o impulso total sobre o sistema será sempre nulo, ou seja, no sistema não haverá variação da quantidade de movimento total.

Isso nos permite concluir que:

Assim, quando um sistema isolado encontra-se em processo interno de explosão ou de colisão, a troca de forças internas entre os corpos do sistema pode variar a quantidade de movimento desses corpos, mas não consegue alterar a quantidade de movimento global do sistema.

Em suma:

Sistemas Isolados

Colisões Frontais

Neste módulo, trataremos da mecânica relacionada às colisões frontais de partículas. A colisão entre dois corpos é denominada frontal ou unidimensional quando não ocorre mudança na direção da velocidade desses corpos, ou seja, as velocidades dos corpos, antes e depois do choque, possuem a mesma direção.
Sabemos que nas colisões há conservação da quantidade de movimento do sistema. Isto é: no choque entre duas partículas A e B, as quantidades de movimento de cada partícula variam, mas a quantidade de movimento do sistema se conserva.

Para um choque frontal, podemos escrever a equação de conservação de quantidade de movimento do sistema usando velocidades escalares, ou seja, atribuindo um sinal algébrico às velocidades das partículas de acordo com a orientação (positiva) definida para a trajetória.

2. Coeficiente de Restituição

Embora sempre ocorra a conservação da quantidade de movimento do sistema, numa colisão pode ou não haver conservação de energia mecânica do sistema.

Os choques são classificados em função da conservação ou não da energia cinética do sistema. Quando a energia cinética do sistema imediatamente após o choque é igual à energia cinética do sistema imediatamente antes do choque, ele recebe o nome de choque perfeitamente elástico. Se as energias cinéticas do sistema antes e após o choque forem diferentes, ele recebe o nome de choque não-elástico.

Tais denominações foram originadas em experiências com choques frontais entre um móvel e um anteparo rígido (uma parede, por exemplo).

Suponha que um carrinho se aproxime frontalmente de uma parede a 10 m/s e, após o choque, se afaste desta com velocidade de módulo 6 m/s.

Após o choque, o carrinho tem restituída apenas 60% da velocidade, em módulo, que possuía antes do choque. Conclusão: houve perda de energia cinética nessa colisão.
A partir disso, criou-se um coeficiente de restituição (e) para as colisões frontais, definido pela razão entre o módulo da velocidade de afastamento (após o choque) e o módulo da velocidade de aproximação (antes do choque).

Caso ocorresse 100% de restituição do módulo da velocidade (vafast. = vaprox.), o coeficiente de restituição atingiria seu valor máximo (e = 1) e não haveria perda de energia mecânica. Esse choque, denominado perfeitamente elástico, pode ser simulado lançando-se o carrinho contra uma mola ideal fixa numa parede, como mostra a figura abaixo.

Entre os choques não-elásticos, destaca-se o choque perfeitamente inelástico, no qual se produz a maior perda de energia mecânica. Este choque ocorre quando o coeficiente de restituição é mínimo, ou seja, igual a zero (e = 0). Num choque desse tipo, o carrinho lançado contra a parede não retornaria (grudar-se-ia nesta) e, por conseguinte, perderia toda sua energia mecânica inicial.

Sintetizando, podemos comparar os tipos de choques frontais assim:

Para estendermos a definição de coeficiente de restituição para uma colisão entre duas partículas
(A e B), basta que usemos velocidade relativa, ou seja, que tomemos a velocidade que uma partícula possui em relação à outra (eleita como “parede”).

Dessa forma, o coeficiente de restituição será obtido pela razão entre as velocidades relativas, depois e antes do choque, assim:

Exercícios

01. Um carrinho de massa 1,0 kg move-se sobre um piso horizontal, com velocidade de 4,0 m/s, em direção a outro carrinho de massa 3,0 kg, inicialmente em repouso. Após o choque, eles permanecem unidos.

Admitindo que o sistema seja isolado, determine:

a) a intensidade da quantidade de movimento do conjunto de carrinhos após o choque; 

b) o módulo da velocidade do conjunto após a colisão.

02. Um canhão de massa 500 kg, estacionado no solo, dispara horizontalmente uma bala de massa 1 kg com velocidade escalar de 200 m/s. Determine a velocidade escalar de recuo do canhão no momento do disparo.

03. Um automóvel A e uma caminhonete C, trafegando em vias perpendiculares, colidem no ponto P de uma esquina e, a seguir, prosseguem “grudados” na direção PQ. Sabe-se que a caminhonete tem o dobro da massa do automóvel e que sua velocidade antes da colisão era vC = 40 km/h.

Ao relatar a colisão à polícia técnica, o motorista do automóvel declarou que, antes do choque, seu carro trafegava com velocidade de valor abaixo da máxima permitida no local (60 km/h).

a) Verifique se a afirmação do motorista é verdadeira ou falsa.

b) Determine a intensidade da velocidade do conjunto
(A + C) imediatamente após a colisão.

04. Uma bola de borracha de 0,2 kg cai, a partir do repouso, de uma altura H = 1,6 m e, após o choque frontal com o solo, retorna até uma altura máxima
h = 0,4 m. Adotando g = 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar, determine:

a) a perda de energia mecânica da bola nesse choque;
b) o coeficiente de restituição no choque.

05. Ao longo de um eixo x, uma partícula A de massa 
0,1 kg incide com velocidade escalar de 1 m/s sobre uma partícula B de massa 0,3 kg, inicialmente em repouso. O esquema a seguir ilustra isso, como também o que sucede após o choque.

a) Mostre que houve conservação da quantidade de movimento do sistema.

b) Calcule o coeficiente de restituição dessa colisão e, a seguir, informe se houve ou não perda de energia mecânica do sistema nessa colisão.

06. Um carrinho A de massa mA = 2,0 kg e velocidade escalar vA = 5,0 m/s choca-se frontalmente com um outro carrinho B, de mesma massa, que caminhava à sua frente com velocidade escalar vB = 1,0 m/s, sobre uma mesma reta horizontal.

Considere que a colisão ocorra de forma que a perda de energia mecânica do sistema seja máxima, mas consistente com o princípio de conservação da quantidade de movimento.

a) Quais as velocidades escalares dos objetos imediatamente após a colisão?

b) Qual a energia mecânica dissipada nesse choque?

07. O gráfico abaixo representa as velocidades escalares de duas pequenas esferas, A e B, que realizam uma colisão frontal (com faixa de duração em destaque no gráfico).

Determine:

a) o coeficiente de restituição entre A e B;
b) a relação entre as massas de A e B.

08. A figura mostra a descida pendular de uma bolinha (1), a partir do repouso, presa a um fio ideal de comprimento e inicialmente horizontal. No final da descida (fio na vertical), a bolinha 1 chega rasante ao solo e choca-se frontalmente com uma fila formada por duas bolinhas (2 e 3) em repouso, cada uma com a mesma massa da bolinha 1.

Desprezando qualquer atrito e considerando os choques como perfeitamente elásticos, quais os módulos finais das velocidades das bolinhas?